jueves, 6 de enero de 2011

Interés Compuesto.

Definición:

Es aquel en el cual los intereses devengados en el período, se convierten en capital para el período siguiente.

Capitalización : 

Es el fenómeno mediante el cual el interés devengado se convierte en capital.

Ejemplo  4.1

Si se invierte en el día de hoy la suma de $1.000 a una tasa de interés del 1% mensual. Cuanto se habrá acumulado al final del año?

Valor presente : $1.000
Tiempo:               Un año
n:                          12 meses
Tasa:                   1.0% mensual
Valor futuro:      ?


Los intereses de cada periodo se calculan con base en el capital acumulado resultado de la sumatoria del capital inicial y los intereses causados.

En  el período uno (1)  el resultado VF es igual al del interés simple calculado en el modulo anterior.

Vf = P + I        ...    Vf = 1.000+ 10 = 1.010
Vf = P + P*i    ...    Vf = 1.000 + 1.000*0.010
Vf = P(1+i)     ...     Vf = 1.000(1+0.01)

En el segundo período  n = 2

Vf = P(1+i) +P(1+i)*i                ...    Vf = 1.000(1+0.10) + 1.000(1+0.10)*0.10
Vf = P(1+i) (1+i) = P(1+i)^2    ...     Vf = 1.000(1+0.01)^2

En el período enésimo:

Vf = P(1+i)^n               (4.1)

En el ejemplo 4.1 

Vf = 1.000(1+0.010)^12 = $1.126.83

Valor presente:

si Vf = P(1+i)^n , despejando Vp:

Vp = Vf(1+i)^-n                  (4.2)

Ejemplo 4.2

Cuanto se debería invertir hoy para poder retirar la suma de $ 1.961.010.95 dentro de año y medio, si la tasa de interés es de 1.5% de interés mensual?

F = $1.961.010.95
i = 1.5% mensual
n = 18 meses.
P = ?

Nótese que si la tasa de interés es mensual, los períodos deben coincidir, es decir, el tiempo de año y medio se debe reexpresar en términos del período que cubre la tasa de interés, en este caso mensual.

P = $1.961.010.95*(1+0.015)^-18
P = $ 1.500.000


Calculo del tiempo en función del Valor presente, del valor futuro y la tasa.

Ejemplo 4.3

Si se invierte la suma de $1.500.000, a una tasa pactada del 2.5% bimestral, y al final de la operación financiera se ha acumulado un monto equivalente a $ 2.017.333.23 .¿ Cuanto tiempo duró la operación?

Solución:

Tomado la formula : 4.1 

Vf = P(1+i)^n     se despeja n que es la expresión del tiempo por medio de períodos de capitalización.
Ln(F/P) = n*Ln(1+i)

n = Ln(F/P)/Ln(1+i)                                           (4.3)

P = $1.500.000
i  = 2.5% bimestral
F = $2.017.333.23
n  = ?

n = Ln ($2.017.333.23/$1.500.000)/Ln(1+.025)

n = 0.29631134793/0.024692612859

n = 11.9999998, aproximadamente n = 12 períodos bimestrales.

tiempo = 12* 2  = 24 meses = 2 años.

Calculo de la tasa de interés en función del valor presente, valor futuro y el tiempo.

Ejemplo 4.4

Si se invierte la suma de $1.500.000 y al transcurrir dos años se ha acumulado un monto equivalente a $ 2.017.333.23 .¿ Cual es la tasa de interés bimestral implícita?
 
P = $1.500.000
i  =  ?
F = $2.017.333.23
n  = 12

Solución:

La tasa de interés a calcular es bimestral, entonces los períodos capitalizables son bimestrales, es decir:
n = dos años  = 24 meses = 12 bimestres.

n es el número de bimestres que hay en dos años.
De la Formula 4.1

Vf = P(1+i)^n              


 F/P = (1+i)^n

[(F/P)^(1/n)]-1 = i                    (4.4)

i = [(2.017.333.23/$1.500.000)^(1/12)]-1
i = [(1.34488882)^(1/12)]-1
i = 0.0249999997  Aproximadamente 0.025
i = 2.5% bimestral.


2 comentarios:

  1. Lic. César Salazar T.22 de marzo de 2013, 17:14

    Los felicito, el contenido me parece muy didactico. Solo se me ocurre sugerir con todo respeto ampliar los temas tratados y si les es posible agregar contenido sobre Ingeniería Económica (evaluación de proyectos de inversión).
    Gracias.

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  2. $2.017.333.23/$1.500.000 esta operación da como resultado 1.34488882 no entiendo porque en el primer ejercicio el resultado es Ln ($2.017.333.23/$1.500.000)/Ln(1+.025)
    esta misma operacion da como resultado 0.29631134793.

    Aunque viendo el siguiente problema infiero de donde sale, pense que mi resolución del ejercicio estaba mala.

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